สามารถคำนวณไพได้จาก
เซตม็องแดลโบร, โดยการคำนวณจำนวน iterations required before point (−0.75, ε) diverges.
เรขาคณิต
π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม
| รูปร่างทางเรขาคณิต | สูตร |
|---|
| เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d | C = π d = 2 π r {\displaystyle C=\pi d=2\pi r\,\!} |
| พื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี r | A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!} |
| พื้นที่ของวงรีที่มีแกนเอก a และแกนโท b | A = π a b {\displaystyle A=\pi ab\,\!} |
| ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d | V = 4 3 π r 3 = 1 6 π d 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!} |
| พื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี r | A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}\,\!} |
| ปริมาตรของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r | V = π r 2 h {\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!} |
| พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r | A = 2 ( π r 2 ) + ( 2 π r ) h = 2 π r ( r + h ) {\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!} |
| ปริมาตรของกรวยที่สูง h และรัศมี r | V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!} |
| พื้นที่ผิวของกรวยที่สูง h และรัศมี r | A = π r r 2 + h 2 + π r 2 = π r ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!} |
การวิเคราะห์
2 π = 2 2 2 + 2 2 2 + 2 + 2 2 … {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots }
1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = π 4 {\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}} หรือเขียนอีกแบบได้เป็น: ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = π 4 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}}
2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = π 2 {\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}} ∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) 2 ( 2 n ) 2 − 1 = ∏ n = 1 ∞ 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 = π 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n)^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}}
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
ζ ( 2 ) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} ζ ( 4 ) = 1 1 4 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + ⋯ = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}
เศษส่วนต่อเนื่อง
π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น
4 π = 1 + 1 3 + 4 5 + 9 7 + 16 9 + 25 11 + 36 13 + . . . {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}}
ทฤษฎีจำนวน
- ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π2 ...
ฟิสิกส์
Δ x Δ p ≥ h 4 π {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
R i k − g i k R 2 + Λ g i k = 8 π G c 4 T i k {\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}
F = | q 1 q 2 | 4 π ϵ 0 r 2 {\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}
